rote aufgabennummer bedeutet ...
... die bearbeitung der aufgabe ist noch nicht abgeschlossen
lösung H 33
determinante = 5t^2 · ( 2t^2 – 1)
invertierbar für t ≠ 0 und t ≠ ± 1/2 · wurzel2
allgemeine info und lösung H 34
zunächst ein paar allgemeingültige dinge
jede orthogonale matrix ist invertierbar – ihre inverse stimmt mit ihrer transponierten überein
jede orthogonale matrix hat entweder die determinante 1 oder –1
aber vorsicht:
eine matrix, deren determinante 1 oder –1 beträgt, muss nicht orthogonal sein
die determinante von zum beispiel ...
1 1
0 1
... ist 1
die inverse von ...
1 1
0 1
... lautet ...
1 –1
0 1
... und stimmt nicht mit der transponierten von ...
1 1
0 1
... überein
( X · Y )* = Y* · X*
( X · Y )* stimmt im allgemeinen nicht mit X* · Y* überein
X* steht (hier und im folgenden) für die transponierte von X
A + A* °
=
0 0
0 0
››› nicht orthogonal
B + B*
=
1 0
0 1
››› orthogonal
die orthogonalität von C kann auch durch C · C* = E und/oder C* · C = E charakterisiert werden
C* · C** = ( C* · C )* = E* = E
C* · C** = E charakterisiert die ››› othogonalität von C*
A 0
0 B
››› orthogonal
A C
0 B
››› nicht orthogonal
E steht (immer) für die einheitsmatrix
E
=
1 0
0 1
... bei 2 x 2 – matrizen
E
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
... bei 3 x 3 – matrizen
° X* steht (hier) für die transponierte von X
anleitung H 35a
nachweisen, dass die menge { b1 , b2 , b3 } linear unabhängig ist ...
dies gelingt (klassisch) durch lösen des LGS ...
x1 · b1 + x2 · b2 + x3 · b3 = o °
..., dessen einzige lösung x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0 ist ...
... oder (schneller) durch folgende feststellung:
b2 ist nicht durch b1
und
b3 nicht durch b1 und b2 darstellbar
genauer:
b2 ist kein vielfaches von b1
und
b3 keine linearkombination von b1 und b2
... oder ...
... nachweisen, dass die 4 x 3 – matrix ( b1 b2 b3 ) den rang 3 hat
° mit o ist hier der vektor ...
0
0
0
0
... gemeint
lösung H 35b
das schmidtsche orthonormierungsverfahren führt auf ...
f1 = 1/wurzel2 ·
–1
1
0
0
f2 = 1/3 ·
2
2
1
0
f3 = 1/wurzel73 · °
–2
–2
8
1
b1 = wurzel2 · f1
b2 = 3 · f2 – wurzel2 · f1
b3 = wurzel73 · f3 + 3 · f2 – wurzel2 · f1 °
° mit wurzel73 ist die (quadrat)wurzel aus 73 gemeint
ansatz H 36a
B F B = B id C · C F C · C id B
lösung H 36b
im folgenden steht › GF ‹ für › G nach F ‹
( › G nach F ‹ wird mit einem kringel zwischen G und F geschrieben )
gegeben sei – worst case – ...
... (die lineare abbildung) F durch (die abbildungmatrix) B F A
... und ...
... (die lineare abbildung) G durch (die abbildungmatrix) D G C
hierbei sind A, B, C und D beliebige basen von V
der erste teil des plans ist nun, ...
... F durch zum beispiel A F A ...
... und ...
... G durch A G A ...
... darzustellen
A F A = A id B · B F A
A G A = A id D · D G C · C id A
damit erfüllt sich auch teil zwei des plans, nämlich ...
... GF durch A GF A ...
... darzustellen
A GF A =
A G A · A F A =
A id D · D G C · C id A · A id B · B F A =
A id D · D G C · C id B · B F A
in des planes drittem teil vergleichen wir nun ...
... die determinante von GF mit dem ...
... produkt der determinanten von G und F
da allgemein die determinante des produktes zweier quadratischer matrizen mit dem produkt ihrer determinanten übereinstimmt, ist alles weitere eigentlich überflüssig
det ( G )
=
det( A G A )
=
det( A id D · D G C · C id A )
=
det( A id D ) · det( D G C ) · det( C id A)
det( F )
=
det( A F A )
=
det( A id B · B F A )
=
det( A id B ) · det( B F A )
det ( GF )
=
det( A GF A )
=
...