CRASHKURSE • HM 2

für die am 13. juli stattfindende scheinklausur

22. juni   29. juni   06. juli

jeweils 12 bis 17 uhr

anmeldung ab 25. mai über

themamathe.de

aufgaben in rot sind noch in bearbeitung

endergebnisse hebe ich oft in dieser farbe hervor

H 85 a

H 85 b c

im foto ››› konstante

H 86 i han koi zeit meh

H 87 a

konvergent

hier lässt sich sogar eine stammfunktion° ermitteln (was bei b bis d eher nicht gelingen wird)

nachweis der konvergenz (zum beispiel) durch die abschätzung e^x – 1 ≥ e^x – 1/2 · e^x

diese abschätzung ist zwar erst ab x = ln(2) gültig – das integral H 87 a ist jedoch von x = 1 bis x = ln(2) aufgrund der stetigkeit des integranden harmlos°° (also ebenfalls konvergent)

°2 · arctan( wurzel( e^x – 1) )

°°soll heißen: es handelt sich für das intervall [ 1 ; ln(2) ] um kein uneigentliches integral

H 87 b

konvergent

nachweis der konvergenz (zum beispiel) durch die abschätzung sin(x) ≤ x 

H 87 c

divergent

nachweis der divergenz (zum beispiel) durch die abschätzung ln(x) ≤ x – 1

H 87 d

konvergent

tipp: leibniz-kriterium

der graph der funktion √x · sin(x^2) schließt mit der x-achse flächenstücke ein, deren orientierter flächeninhalt durch den (ebenfalls orientierten) flächeninhalt von rechtecken (–1)^( k – 1 ) · (  √( k · π ) – √( ( k – 1 ) · π ) ) ) · √( √( k · π ) ) abgeschätzt werden kann ... hierbei ist (  √( k · π ) – √( ( k – 1 ) · π ) ) die breite der rechtecke – dies ist der abstand zweier aufeinanderfolgender nullstellen der funktion sin(x^2) – und √( √( k · π ) ) die höhe der rechtecke – dies ist der größere der zwei funktionswerte der funktion √x an den stellen √( k · π ) und √( ( k –1 ) · π ) ... außerdem wurde für die höhe der rechtecke die funktion sin(x^2) nach oben durch 1 bzw. nach unten durch –1 abgeschätzt

da nun der – von der konstanten π befreite° – term ( √( k ) – √( k – 1 ) ) · √( √( k ) ) für k gegen unendlich gegen null stebt, konvergiert das intergral aus H 87 d

°dies beeinflusst die konvergenz nicht

H 88 a

H 88 b

im folgenden foto steht rechts oben (unter anderem in hellorange) integral ln|x|dx = x · ln|x| – x

dies kann – separat für x > 0 und x < 0 – durch partielle integration ermittelt werden

(hierfür zum beispiel integral ln(x) dx auf integral 1 · ln(x) dx aufpeppen)

anleitung zu online aufgabe 1

anleitung zu online aufgabe 2

ich habe oben die folgenden beispielaufgaben gelöst

die angegebene anleitung sollte sich mühelos auf ›andere zahlenwerte‹ anwenden lassen