allgemeines

ich löse keine aufgaben der hausübungen – mein crashkurs-service bezieht sich nur die aufgaben der scheinklausuren

die drei normierten vektoren u v w bilden ein rechtssystem genau dann wenn u kreuz v gleich w und/oder v kreuz w gleich u und/oder w kreuz u gleich v

die aus den vektoren u v w zusammengesetzte matrix ( u v w ) ist dann eigentlich orthogonal

ihre determinante hat den wert 1 und es gilt A^T = A^(–1)

– – –

die drei normierten vektoren u v w bilden ein linkssystem genau dann wenn u kreuz v gleich –w und/oder v kreuz w gleich –u und/oder w kreuz u gleich –v

die aus den vektoren u v w zusammengesetzte matrix ( u v w ) ist dann uneigentlich orthogonal

ihre determinante hat den wert –1 und es gilt ebenfalls A^T = A^(–1)

die codierung 2024 7 3 bedeutet version 3 der aufgabe 7 des wintersemesters 2023 2024

2017 8 1

frage ...

Servus Andreas,

Ich versuche gerade ein scheinklausur zu rechnen und bin gerade an einer Aufgabe, in der man nur mit Hilfe der Spur und determinante die eigenwerte in einer C^3x3 Matrix berechnet

Geben ist ein eigenwert

antwort ...

aus λ1 mal λ2 mal λ3 = determinante = 3 und λ1 plus λ2 plus λ3 = spur = 3 folgt mit λ1 = 1 zunächst λ2 mal λ3 = 3 durch λ1 = 3 und λ2 plus λ3 = 3 minus λ1 = 2

λ2 und λ3 errechnest du nun aus dem gleichungssystem λ2 mal λ3 = 3 und λ2 plus λ3 = 2

nachklausur 2016 7

frage ...

antwort ...

2016 7bd 1

frage ...

antwort ...

die drittletzte zeile stammt aus der ersten zeile der unteren matrix-gleichung ... die zweite zeile der unteren matrix-gleichung liefert ebenfalls den (ersten) EW 2alpha minus 3

der zweite EW ist durch spur minus erster EW berechenbar ... 2alpha plus 1 minus ( 2alpha minus 3 ) ... der zweite EW ist 4

wenn beide EW identisch sind ( 2alpha minus 3 = 4 ... somit alpha = 7/2 ) ist 2 die algebraische vielfachheit dieser (identischen) EWe ... für alpha = 7/2 (dann beide lambda = 4) lassen sich jedoch keine 2 (linear unabhängigen) EVen bestimmen ... somit ist 1 die geometrische vielfachheit dieser (identischen) EW ... wenn alg. vfh. und geo. vfh. verschieden, dann ist eine diagonalisierung nicht möglich

2016 4 1

frage ...

antwort ...

nachklausur 2015 5

frage ...

antwort ...

zu (a) ... A mal v1 = ( 1  0  1–i ) ... dies das (–i)-fache von v1 ... folglich ist v1 ein EV zum EW –i

zu (b) ... wenn du die zur ermittlung der (weiteren) eigenwerte nötige determinante von A minus lambda mal E nach (zum beispiel) der zweiten zeile entwickelst, enthält dein charakteristisches polynom automatisch den faktor ( 2 + i – lambda ) ... hieraus ist (als nullstelle dieses faktors) 2 + i als ein weiterer EW ablesbar ... und dieser führt (bei völlig gleicher vorgehensweise wie im reellen) zum EV ( 0 1 0 )

zu (c) ... der dritte EW wird bequem mittels summe aller eigenwerte = spur von A berechnet ... hier also spur von A minus (–i) minus (2 + i) = –2–2i ... die anordnung diese drei eigenwerte ist nun auf sechs verschiedene arten möglich ... in der musterlösung ist hiervon nur eine angegeben

20XX 4 X

frage ...

antwort ...

determinante wie gewohnt berechnen ... 3/5 mal (–3/5) minus 4/5 mal 4/5 ... det( A ) = –1 ... zur sicherheit die orthogonalität von A überprüfen ... A^(–1) = A^T ... bei einer drehung ist det( A ) = +1 ... bei einer spiegelung ist det( A ) = –1 ... hier liegt also eine spiegelung vor ... als richtungsvektor der geraden, an der gespiegelt wird wählst du nun einen (beliebigen) eigenvektor zum eigenwert 1

2012 3 2

frage ...

antwort ...

20XX X X

frage ...

(1)

(2)

hallo Andreas, könntest du mir zu (1) die komplette rechnung und zu (2) nur für eR und eQ?

antwort ...

zu (1) ... dritte spalte kreuz erste spalte ergibt zweite spalte

zu (2) ... F kappa E mal EQ ergibt FQ und E kappa F mal FR ergibt ER

2010 3 X

frage ...

Verstehe leider noch nicht wie man den 2. Teil der Aufgabe mit der Bewegung löst...

antwort ...

das rechte dreieck überdeckt (nach einer geeigneten – jedoch nicht gesuchten – drehung) das linke dreieck, wenn A1 auf B2 und B1 auf A2 und C1 auf C2 rutscht ... und deshalb ist α(A1) = B2 und α(A2) = B1 und α(C1) = C2

2007 7 1

frage ...

anhand welcher Kriterien legt man die Reihenfolge des Kreuzproduktes fest. Das Ergebnis hängt ja davon ab, ob ich y x z mache oder z x y.

antwort ...

wenn x , y , z ein rechtssystem werden soll, musst du y kreuz z rechnen, um x zu erhalten

wenn x , y , z ein linkssystem werden soll, musst du z kreuz y rechnen, um x zu erhalten

für diese aufgabe ist es aber egal, ob du y kreuz z oder z kreuz y rechnest ... für eine orthonormalbasis ist beides okay – rechtssystem ebenso wie linkssystem

20XX X X

frage ...

antwort ...