(die lösungswege bitte nicht wortwörtlich abschreiben – die wachen augen der tutoren sehen alles – seid in der ausgestaltung eurer lösung ein wenig kreativ) ... in jedem fall ist es hilfreich, den versuch zu wagen, die ergebnisse eigenständig zu ermitteln (um anschließend meine lösungen und lösungswege nur noch zur beruhigenden kontrolle verwenden zu müssen)

H 13

die aufgabenstellung ist mathematisch ungenau ... es fehlt zum beispiel die angabe der jeweils zu benutzenden ›inneren verknüpfung‹ ... intuitiv bietet sich natürlich immer das gewöhnliche + an

a und c . . . W ist kein UVR von V

b und d . . . W ist ein UVR von V

Warum ist W aus Teil a kein Vektorraum? – Weil der (in jedem Vektorraum enthaltene) Nullvektor nicht in W liegt (das Nullpolynom 0 ist kein Polynom von Grad 5)

Warum ist W aus Teil c kein Vektorraum? – Weil mit zum Beispiel ( 2 , 3 ) nicht auch das additive Inverse ( –2 , –3 ) in W enthalten ist

Für Teil b und d genügt der Nachweis, dass mit jedem Element aus W auch jedes Vielfache dieses Elementes und mit je zwei Elementen aus W auch die Summe dieser Elemente in W liegt ... außerdem darf W nicht leer sein

siehe auch foto zu H 13 weiter unten

H 14

l = 1

φ1 = 0

φ2 = 2π

die Menge D aus der Aufgabe ist das Innere eines Kreises um den Ursprung mit Radius 1 ... D wird durch diesen Kreis berandet ... die Berandung der Menge der laut Aufgabe zur Ermittlung von D vorgesehenen z-Werte übernimmt die x-Achse ( Im(z) = 0 ) ... alle z-Werte mit Im(z) = 0 werden durch ( z – i ) / ( z + i ) auf Punkte des erwähnten Kreises abgebildet (denn aus einem allgemeinen z = a + bi mit b = 0 wird (( a^2 – 1 ) / ( a^2 + 1 )) + (( –2a ) / ( a^2 + 1 ))i ... der Betrag hiervon ist immer 1 – diese 1 wird zum Radius des Kreises) ... die Idee des Kreises drängt sich auf, wenn vorab ( z – i ) / ( z + i ) für zum Beispiel z = –3 bis z = 3 ausgewertet wird

warum aber das Innere des Kreises? ... weil zum Beispiel z = i (liegt im Inneren der durch Im(z) = 0 festgelegten Menge) auf 0 (liegt im Inneren des Kreises) abgebildet wird

für Spezialisten: ein Bild von z = –i unter ( z – i ) / ( z + i ) kann nicht ermittelt werden und der Punkt 1 kommt als Bild nicht vor ... die Abbildung ist eine Bijektion von C \ { –i } auf C \ { 1 } ... siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Möbiustransformation

bitte alles selbst nachrechnen!

Η 15

X = ...

X = ...

X = –3

X = 1/5

X = 1

hier verzichte ich auf einen lösungsweg

H 16

x1 = –λ

x2 = 5λ

x3 = 3λ

λ = beliebige reelle Zahl

zu H 16

zu H 13